Sistem Bilangan

A. Konversi Bilangan Biner, Desimal, Oktal dan Hexadesimal

1. Konversi Bilangan Biner ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan biner ke desimal adalah dengan cara mengalikan satu persatu bilangan dengan 2 (basis bilangan biner) pangkat 0, pangkat 1 dan seterusnya sesuai dengan banyaknya bilangan biner yang akan di konversi dan perhitungannya dimulai dari bilangan biner yang paling kanan.

Contoh:

2. Konversi Bilangan Biner ke Oktal

Cara mengkonversi bilangan biner ke oktal yakni dengan mengelompokan bilangan biner menjadi 3 buah dimulai dari bilangan biner yang paling kanan. Setelah dikelompokan barulah kita dapat mengkonversi menjadi bilangan Oktal.
Contoh:

3. Konversi Bilangan Biner ke Hexadesimal

Cara mengkonversi bilangan biner ke hexadesimal tekniknya hampir sama dengan cara konversi bilangan biner ke oktal. Yang membedakan ada pada pengelompokan bilangan binernya, pada bilangan oktal dalam satu kelompok terdiri dari 3 buah bilangan biner sedangkan pada hexadesimal dalam satu kelompok terdiri dari 4 buah bilangan biner.
Contoh:

4. Konversi Bilangan Desimal ke Biner

Cara mengkonversi bilangan desimal ke biner adalah dengan cara membagi bilangan desimal dengan 2 (basis bilangan biner) kemudian menyimpan hasil bagi dan sisa bagi dari setiap pembagiannya hingga hasil baginya < 2. Nilai konversinya adalah urutan dari hasil bagi yang terakhir kemudian sisa bagi dari yang terakhir hingga ke awal.
Contoh:

5. Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Cara mengkonversi bilangan desimal ke Oktal adalah dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 (basis bilangan oktal) dan menyimpan hasil bagi dan sisa bagi dari setiap pembagiannya. Nilai konversinya adalah urutan hasil bagi yang terakhir kemudian sisa bagi dari yang terakhir hingga ke awal.
Contoh:

6. Konversi Bilangan Desimal ke Hexadesimal

Cara mengkonversi bilangan desimal ke hexadesimal adalah dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 (basis bilangan hexadesimal) dan menyimpan hasil bagi dan sisa bagi dari setiap pembagiannya. Apabila sisa bagi > 9 maka angkanya dirubah menjadi huruf. Untuk sisa bagi berjumlah 10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E, 15 = F.
Contoh:

7. Konversi Bilangan Oktal ke Biner

Cara mengkonversi bilangan oktal ke biner adalah dengan memecah terlebih dahulu bilangan oktal kedalam satuan bilangan. Kemudian masing-masing bilangan diubah kedalam bentuk biner (harus 3 digit) dengan cara membagi dengan 2 (basis bilangan biner). Jika hasil konversi hanya menghasilkan 2 digit bilangan biner, maka harus ditambahkan 0 supaya bilangan binernya menjadi 3 digit.

Contoh:

8. Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

Cara mengkonversi bilangan oktal ke desimal adalah dengan cara mengalikan satu persatu bilangan dengan 8 (basis bilangan oktal) dengan pangkat 0, 1 dan seterusnya dimulai dari bilangan oktal yang paling kanan. Kemudian hasil dari semua pengalian dijumlahkan.

Contoh:

9. Konversi Bilangan Oktal ke Hexadesimal

Cara mengkonversi bilangan oktal ke hexadesimal terdiri dari dua tahap yaitu:

- Pertama, mengkonversi terlebih dahulu bilangan oktal ke bilangan biner

- Kedua, hasil konversi ke bilangan biner kemudian di konversikan ke bilangan hexadesimal

Singkatnya seperti ini Oktal --> Biner --> Hexadesimal.

Contoh:

- Konversi terlebih dahulu Bilangan Oktal ke Bilangan Biner

- Kemudian konversi Bilangan Biner ke Bilangan Hexadesimal

                                                                                       

B. Operasi Aritmatika (Penjumlahan Dan Pengurangan) Sistem Bilangan

A.Penjumlahan Bilangan

1.  Penjumlahan Bilangan Biner

Pada penjumlahan berlaku aturan seperti di bawah ini ,

0  +  0	= 0
0  +  1	= 1
1  +  0	= 1
1  +  1	= 0 / + 1 sebagai carry
1  +  1  +  1	= 1 / + 1 sebagai carry

Sebagai cara penjumlahan bilangan desimal yang Anda kenal sehari-hari, penjumlahan bilangan biner juga harus selalu memperhatikan carry (sisa) dari hasil penjumlahan pada tempat yang lebih rendah.

Contoh :

Dalam contoh diatas, telah dilakukan penjumlahan 8 bit tanpa carry, sehingga hasil penjumlahnya masih berupa 8 bit data. Untuk contoh berikutnya akan dilakukan penjumlahan 8 bityang menghasilkan carry.

Contoh :

Hasil penjumlahan diatas menjadi 9 bit data, sehingga untuk 8 bit data, hasil penjumlahannya bukan merupakan jumlah 8 bit data A dan B tetapi bit yang e-8 (dihitung mulai dari 0) atau yang disebut carry juga harus diperhatikan  sebagai hasil penjumlahan.

2. Penjumlahan Bilangan Oktal

Proses penjumlahan bilangan oktal sama seperti proses penjumlahan bilangan desimal. Sisa akan timbul / terjadi jika jumlahnya telah melebihi 7 pada setiap tempat.

Contoh :

3. Penjumlahan Bilangan Heksadesimal

Dalam penjumlahan bilangan heksadesimal, sisa akan terjadi jika jumlah dari setiap tempat melebihi 15.

B. Pengurangan Bilangan

1. Pengurangan Bilangan Biner

Pada pengurangan bilangan biner berlaku aturan seperti di bawah ini,

0  -  0	= 0
0  -  1	= 1 / -1 sebagai borrow
1  -  0	= 1
1  -  1	= 0
0  -  1  -  1	= 0 / - 1 sebagai borrow
1  -  1  -  1	= 1 / -1 sebagai borrow

Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman (borrow) pada tempat yang lebih tinggi.

Contoh :

2.  Pengurangan Bilangan Oktal

Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman (borrow) pada tempat yang lebih tinggi (dengan nilai 8).

Contoh :

 

3. Pengurangan Bilangan Heksadesimal

Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil dari pada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman (borrow) pada tempat yang lebih tinggi (dengan nilai 16).

Contoh :

C. Mendefenisikan Bilangan Kurang Dari Nol

Pada sistem bilangan desimal untuk mendefinisikan suatu nilai bilangan yang kurang dari nol ialah dengan menggunakan tanda minus. Namun pada sistem bilangan biner (binary) hal tersebut menjadi lebih rumit, karena semua representasi nilai dengan menggunakan nilai logika satu atau nol. Sebuah komputer hanya mengenali nilai 'on' (High atau 1) dan 'off' (Low atau 0), secara default tidak mengenali nilai minus begitu saja. Terdapat dua metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut yakni dengan notasi one's complement dan two’s complement.

1. One's Complement
Ketika merepresentasikan sebuah angka negatif dalam notasi one’s complement, sangatlah penting untuk mengetahui terlebih dulu jumlah bit yang digunakan untuk merepresentasikan suatu angka tersebut. Semisal, untuk merepresentasikan nilai -20 dalam notasi one’s complement melalui langkah-langkah sebagai berikut.

• Pertama, mengubah dari desimal menjadi biner dengan nilai yang sama, contohnya (20) = (00010100)₂
• Selanjutnya ialah membalik nilai dari tiap-tiap bit, 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1, contohnya (00010100)₂ dibalik menjadi (11101011)₂

Sehingga bila nilai -20 direpresentasikan dalam notasi one’s complement ialah menjadi (11101100)₂.

2. Two's Complement
Notasi one's complement memang berhasil merepresentasikan suatu nilai minus, namun bukan berarti sempurna tanpa celah. Kelemahan fatal dari notasi one's complement ialah bila menggunakan metode ini maka akan didapati dua buah nilai 0, yakni 0 negatif dan 0 positif.
Oleh karena itu dikembangkan metode baru untuk mengatasi kelamahan tersebut, yakni two's complement. Secara garis besar hampir sama dengan one's complement, namun terdapat langkah tambahan yakni dengan menambahkan 1 bit pada LSB, Least Significant Bit. Berikut ini ialah contohnya.

• Pertama, mengubah dari desimal menjadi biner dengan nilai yang sama, contohnya, (20) = (00010100)₂
• Selanjutnya, membalik nilai tiap-tiap bit, 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1, contohnya, (00010100)₂ dibalik menjadi (11101011)₂
• Langkah terakhir ialah dengan menambahkan satu bit pada LSB, (11101011)₂ ditambah 1 bit menjadi (11101100)₂

Dengan demikian nilai -20 dengan menggunakan notasi two's complement ialah (11101100)₂.
Dalam sistem komputer, untuk membedakan suatu nilai itu positif atau negatif, digunakan flag register yakni SF, Signed Flag. Bila SF bernilai 1, maka nilai yang ditunjukkan ialah nilai negatif, sebaliknya ialah nilai positif.
Terdapat trick yang lebih mudah dalam menggunakan notasi two's complement. Selain dengan cara yang telah disebutkan, ada satu cara yang lebih mudah dalam merepresentasikan nilai minus dengan two's complement. Kembali dengan contoh nilai -20.

• Pertama, ubah dulu nilai desimal 20 ke nilai biner menjadi 00010100₂
• Amati dari LSB, Least Significant Bit, bit paling kecil yang paling kanan
• Dari LSB cari bit pertama yang bernilai 1, bila tidak ditemukan geser ke bit di sebelah kirinya.
• Dari 00010100₂, bit satu yang pertama ada pada bit yang ke-3 dari LSB
• Tulis saja tiga pertama bit tersebut (100) pada bagian notasi two's complement
• Setelah ditemukan bit bernilai 1 yang pertama, selanjutnya semua bit yang ada di sisi kirinya dibalik nilainya
• Sehingga bit ke-4 sampai yang ke-8 diubah dari 00010₂ menjadi 11101₂
• Gabungan keduanya bit 1 sampai 3 dengan bit 4 sampai 8, menjadi 11101100  
 

D. Gerbang Logika

    Sebuah gerbang logika (logic gate) merupakan dasar dari sebuah rangkaian digital. Kebanyakan gerbang logika memiliki dua buah input dan sebuah output. Tiap terminal hanya memiliki satu kondisi saja pada satu waktu, apakah itu kondisi low 0, atau high 1. Tidak ada terminal digital dengan dua kondisi pada satu waktu yang bersamaan. Pada kebanyakan gerbang logika TTL, kondisi low memiliki tegangan kurang lebih 0 volt. Sedangkan pada kondisi high, tegangannya sekitar +5 volt.
Terdapat tujuh buah gerbang logika dasar yakni: AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR, dan XNOR.

1. Gerbang Logika AND
Kondisi output gerbang AND akan bernilai high hanya jika kedua input bernilai high. Selain itu akan bernilai low.

2. Gerbang Logika OR
Kondisi output gerbang OR akan bernilai high jika ada salah satu atau semua input bernilai high. Bila kedua input bernilai low maka output juga akan bernilai low.

3. Gerbang Logika XOR
Kondisi output gerbang XOR (Exclusive-OR) akan bernilai high jika hanya salah satu input saja yang bernilai high. Bila kedua input bernilai sama maka output akan bernilai low.

4. Gerbang Logika NOT
Gerbang logika NOT merupakan gerbang logika kebalikan (inverse). Kondisi output akan bernilai high saat input bernilai low. Sebaliknya, saat input bernilai high output akan bernilai low.

5. Gerbang Logika NAND
Gerbang logika NAND (Not-AND) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari AND. Kondisi output akan bernilai low hanya saat semua input bernilai high. Selain itu output akan bernilai high.

6. Gerbang Logika NOR
Gerbang logika NOR (Not-OR) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari OR. Kondisi output akan bernilai high hanya saat semua input bernilai low. Selain itu output akan bernilai low.

7. Gerbang Logika XNOR
Gerbang logika XNOR (Exclusive-Not-OR) merupakan gerbang logika kebalikan (inverse) dari XOR. Kondisi output akan bernilai high hanya saat semua input bernilai sama (high atau low), selain itu bila nilai input berbeda output akan bernilai low.

 Beberapa Tambahan Berasal dari:

• Blog Banjirochiko